如何培养低龄孩子的数学思维？
无疑这篇是枣妈在所有能发掘到的低龄孩子启蒙数学思维最全最实用最权威的的一篇，是公号外滩君邀请上海延安中学的数学老师朱磊做了一场“低龄孩子数学思维培养”的讲座，内容有点长。
在朱老师看来，一个人的思维能力如同一个玻璃器皿的“器量”（容量），最终能容纳多少东西（知识）就取决于这个“器量”的大小。
主讲 | 朱磊
整理 | 外滩小助手：Daisy、建军
视频 | 洪宇哲 编辑 | 闻琛
好，各位家长，那么我们现在就开始谈谈如何培养数学思维能力这个话题。当然，我也是第一次以这样的形式来直播，所以，也希望大家多多海涵。
我们的讲座就从PPT当中的这张图片开始讲起。图片当中是一些很漂亮的玻璃器皿。那为什么以这张图片作为开场白呢？不知道大家有没有看过玻璃器皿的吹制过程，玻璃在高温炉里被加热到一定温度以后，用一根很长的空心铁管取出玻璃液，在其冷却前，一边吹气一边进行塑形。冷却后从铁管上敲入。这整个过程需要非常迅速而沉稳。
我当初是在欧洲的时候看到这个玻璃器皿的制作过程，当时我就在想，小孩子的思维能力的培养，就好比吹制玻璃器皿。为什么要用这样一个比喻呢？原因有两个：
其一，思维能力的培养过程不能操之过急，但是你又不能错过这样一个黄金时期。就好比玻璃液没有达到指定温度之前，你如果拿出来，你想吹也吹不动啊。但一旦取出来以后，到它冷却下来，这个速度是非常快的。
其二，每个孩子长大以后，都好比一个成型的玻璃器皿，一个器皿能容纳多少东西，取决于它容量有多大。我喜欢把这个词叫做器量。一个孩子学习数学，最终造诣能达到多高，也同样取决于他的思维能力的强弱。思维能力就好比一个玻璃器皿的一个器量一样。
我再举一个生活中很多家长都会碰到的一个问题。他们总是说，初中阶段，孩子数学很好，中考145分以上。但进入高中阶段以后，每况愈下，最后高考只考了八九十分。高考的满分也是150分，那这个又是为什么？
我想主要原因就是孩子的思维能力在进入高中之后尤其是在高二、高三基本定型，如果孩子的思维能力只到了这个水平，而高中知识体系对思维水平的要求，要比初中高上很多很多。所以，当你的气量只有这么大的时候，你到时候想塞进更多的知识体系，更多的内容，绝对是心有余而力不足。其实，现在这个现象慢慢慢慢在初升高、在小升初已经显现出来了。
很多家长给我反馈，我的小孩小学数学从来不用我操心，都是九十分、一百分。到了初中以后，怎么七八十分也出来了，甚至不及格也出来了。其实道理是一样的。当一个孩子的思维能力跟不上这个知识体系的要求的时候，成绩肯定是出不来的。当然，各位家长也不用着急，小升初还属于思维能力培养的黄金时期，如果你能够抓住这个时期，把这个能力培养好了，那么问题也不是很大。但是如果你到了高中再觉得怎么学都学不上去，那就是比较麻烦的事情了。那今天，我从三个方面来谈一下怎样进行思维能力的培养。
第一，思维习惯的养成，有哪些良好的思维习惯；
第二，如何培养这些思维习惯；
第三，从不同阶段，重点该侧重培养哪些不同的数学能力。
首先，影响孩子数学思维能力的因素真的是很多，今天我只是浅谈而已。由于今天的听课对象基本都是低龄阶段孩子的家长，所以我觉得最重要的无非是良好思维习惯的养成。
先谈谈什么叫思维习惯。教育学当中的定义是：思维习惯是经过反复练习而形成的一种思维方式，是条件反射长期积累，反复强化的一个产物。它具有相对的稳定性。那么思维习惯的重要性到底何在？
我本人是一个吃货，这里用吃做一个比喻。知识和理论就好比厨师用的一套厨具，而思维方式就好比这个厨师的厨艺。一个厨师能否做出美味的料理，是取决于他的厨艺呢，还是取决于他利用的这套厨具有多好？那我想肯定是前者，否则就不是厨师，那变成铁匠了。一个厨师的厨艺的高低，还会影响到他是否能够尽快学会一道新菜的烧法，或甚至是研发一道新菜的能力。
这种能力，在我看来，就是孩子学习数学的一种思维习惯。所以，思维习惯才会是陪伴我们终身的东西。那养成良好的思维习惯，提高思维的品质就相当重要了。思维的品质一般都会包含四块：深刻性、敏捷性、灵活性和独创性，使学生对数学的好奇心和求知欲得以延续。在学习活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；体验探索和创造，感受数学的美与乐趣。我也请各位家长一起好好看看我PPT打出的这四句话。我们细细来品味这四句话。
为什么我比较看重这四句话，因为它涵盖了一个真正学习数学的人一生会经历的几个阶段。我们做一下细致的分析：
首先，你要让你的孩子开始学习数学，我觉得首先就要有良好的思维习惯，提高思维品质。这是一个建立习惯、提升品质的开端。有了这个开端以后，经常也会有老师跟你们讲，学任何东西，兴趣是首位。而这里，兴趣确实是最重要的。在培养兴趣之前，首先要培养良好的习惯。有了良好的习惯，不断循环往复，重复的过程当中，他才能渐渐渐渐地对这门学科或一件事情产生好奇心、求知欲，并从中获得一些成功的体验，也就是我们说的兴趣。
有了兴趣以后，随着他学习的不断深入，势必接触的东西会越来越难，这时就需要他有一些克服困难的意志，包括能够坚持学下去的自信心。这个就是坚持阶段。而一旦走过了这个坚持阶段，那么我觉得他就可以真正去感受数学的美和数学的乐趣。只有经历了这整个阶段，我觉得才是非常成功的真正学好数学的案例。大家可以发现，这所有的一切，兴趣也好，坚持也好，最后达到体验这件事情的内在美也好，起源就在于他的习惯。那么下面我们就来具体来谈一下，思维习惯它到底有哪些是比较重要的。
良好的思维习惯包括哪些方面？
首先，专注力。在思考数学问题的时候，一定要非常全神贯注地投入进去，心无旁骛。现在我们的孩子回家做作业的时候，可能一边开着电视，更多的现在可能是一边看着手机，或者也有一边听歌，一边思考的。这样我觉得对于数学思考或思考数学问题来说，都是非常不利的。
当然我也不排除某些人，音乐可以让他的思维更兴奋，当然这仅仅限于一些轻音乐或者比较柔美的旋律，绝对不能是一些流行歌曲、有歌词的歌曲。那么作为一个旁观者来说，作为家长，如果孩子全身心投入进去以后，一定不能去中断他的思考。
当一个人完全沉浸在他对数学问题的思考中的时候，如果被人打断，其实他是会很恼火的。因为数学的思维是非常严谨而连贯的。一旦中断就很有可能需要从头来过。如果打扰孩子的思考过程，也会对孩子专注力的持久性产生一个负面影响。
这里我再举一个，我们学校经常碰到的一个案例。我们经常会监考，有时候会发现，孩子就算在考试当中，这短短的四十分钟内，如果外面有上体育课，打篮球，偶尔会发出比较大的声响，即便是在考试当中，有一些孩子，只要听到一点声音，我看到他们的第一反应，就是抬头看窗外。要知道，这是在考试当中。这就说明一个什么问题？平时这个孩子在家里做作业的时候，绝对经常不是全神贯注地投入在思考问题上，可能总会有这样那样的事情会干扰到他。
所以，如果平时不注意这点，你想在考试当中，你想专注都专注不起来了。所以这也是为什么很多家长反馈：我孩子好像一到了考试，就不在状态，或者说一逢考试就考不好。这其中专注力就是很大的原因。顺便再提一句，很多家长在孩子大了以后，都在苦恼，我的孩子好像新学的东西都懂，但好像计算老是出错。简单的问题老是做不对，通常我们都归结到粗心。其实粗心的背后，是有更深层次的原因。那我觉得很大一部分，就是在做作业、考试的时候，孩子的专注力远远没有达到他需要的这个水准。
第二个，良好的思维习惯是独立思考的习惯。大家看一下，PPT里有这样一道题，因为现在六年级在上三元一次方程。我觉得家长，如果你有空的话，至少每周抽个一天到两天，有时间陪陪自己的孩子，跟他探讨一下，作业中或在学的题目，孩子有些什么想法。和他交流一下。如果碰到这样一道题，我不知道各位家长会怎样跟自己的孩子探讨。
其实这道题的求解方法有很多，当然你可以根据这三个方程中的一式，把一式乘以二，再把三式减掉一式乘以二的式子，我们就直接求出Y，然后再根据刚刚求出的X和Y的值代入求解Z。当你发现你跟你的孩子在这样探讨的过程中，如果他有很多让你意想不到的发现，或是在解题过程中他给到你一些灵感、思路，我觉得这就是收获最大的东西。
像我们学校的老师，在平时授课的时候，就很注重在课堂中留给孩子充足的时间去思考，通过独立思考或者有时候是小组讨论的形式。这个思考过程才是每个孩子收获最大的环节。每个孩子都投入进去以后，既有利于养成独立思考的习惯，又保证整堂课的专注力。然而在课堂的实践，毕竟还是有限的，在课余，孩子其实有更多的时间。
所以，我们的家长要鼓励孩子，一定要多独立思考，不要动不动就借助一些搜题工具，或者是一些发达的通讯手段，这种种都很不利于培养孩子独立思考的习惯，让他们产生一种过度依赖性。其实我们觉得自己悟出来的，跟别人告诉你的，之间真的是差了十万八千里。哪怕你的孩子，这道题他只悟出了十分之一，但只要他有他自己一点点的想法，我觉得也比他模仿别人的方法，更让你值得庆幸。孩子自身的收获也会更大。这是独立思考的习惯。
第三，观察的习惯。观察也是一个很好玩的东西，我们经常在上课的时候，让孩子去观察，你观察一下这道题的条件有什么特征啊、有什么规律啊。接着你就会发现，有些小孩子，两眼很专注地望着你的黑板，但是你一看，就知道他两眼很无神。这时候，你去问他，你观察到了什么，他会做的就是把你黑板上的题目读一遍。这就是很多孩子眼中所谓的观察。
其实，在我看来就是两眼盯着题目在发呆。我觉得这种观察，等于就在放空啊。我所说的真正的观察，是有目的、有计划、有系统地去看。首先，孩子要明确，这道题到底是要解决什么问题，之后才去观察。什么叫系统性？一道题，有很多的语句、条件组成。如果这个观察只是把字跟字、语句跟语句读出来，这就不叫观察。你要去思考，要去想一下，语句跟语句之间的内在联系。这就是系统性地看，或者是有计划性地看。
观察也有很多的小方法。比如在极其相似的一些题目或者事物中寻找它们不同的地方；或者又在极其不相似的题目或事物中，寻找相同的事物或方法。我们把它简称为求同存异。当然，这是数学中的求同存异，是一种观察的方法。
在这里，我也举一道奥数题目来跟大家分享。我们小朋友在讲这道奥数题，我问他们观察到了什么东西。有小朋友就讲，我观察到了ABCDEFG，我就讲，这又不是一堂英文课，是一堂数学课。其实，那个小朋友在观察的时候，他只是在简单的读题。那真正我们观察到这道题的时候，应该去怎么想呢？
首先，你有没有发现，这个方程组当中，等号左边所有的字母前的系数都是整数，而等号右边，DCB的前面却是分数。当你观察到这一点的时候，那你第一反应是什么呢？是不是我把这些分数也都换成整数，利用等式的基本性质，这四个等式就变成了四个方程。
接着再观察什么？字母A前的系数，这就要看各个字母前的系数规律，就是我讲的系统性内在的一些联系。第一个方程，字母A前的系数是16，第一和第二个方程字母B前的系数和是8加8，也是16；前三个方程字母C前面的系数和是8加4加4，也是16；那字母D，前四个方程，字母D前的系数加起来8加4加2加2，也是16。观察到这里，字母E，大家发现，字母E前的系数和，是15。那前面各个字母，如果把系数全部加起来，都是16，只有最后一个是15。
如果孩子观察到这个规律，那好了，这道题百分之七八十就已经解出来了。只要做一个操作，把四个方程全部加起来，一式加二式加三式加四式，当你把这个式子写出来以后，自然而然这道题就迎刃而解了。通过这个例子，我想教会孩子或者家长，怎么去培养孩子的观察能力，是有计划、有系统、有目的性地去看。
第四个良好的习惯，就是不局限于解题。要探究最优的一种策略，从不同角度去研究同一个问题。我在指导竞赛的过程中，经常发现孩子们往往只满足于找到题目的答案，却忽略了找寻答案的思维过程。你的过程每一步是否都足够严谨，是否足够优化，是否可以用其他的方法知识体系重新诠释这个问题。其实这些问题都是非常值得思考的。而思维的一种发散能力，也是在这些问题的思考中，才会慢慢慢慢得以提高的。
在学习数学的过程中，你会发现，所有的结果都是确定的，对就是对，错就是错。没有模棱两可、半对半错的情况。但在探索结果的过程，却可以是千变万化的。我们经常举一个专业例子，六七年级的小孩子，在学习解方程或者在解不等式的时候，他们只能从代数的角度出发。
大家从我的PPT上面的图片， 比如3X+3>0对于六七年级的小朋友来说，他们看到眼里，这个不等式只是一个不等式，只能从代数角度去理解。而到了八年级，学习了函数以后，你完全可以把3X+3看成一次函数的解析式，也就是令它为Y，Y等于3X+3。
这时候我们可以再从另一个高度和角度理解这个不等式，也就是Y要大于零，也就是在这个函数图像上X轴上方的图像所有的点所对应的横坐标的范围其实就是刚才那个不等式X的解析。当他学了新的知识体系以后，他就能站在不同的角度和层次重新来解释这个不等式，给它赋予一些新的神秘。
现在实际情况是，很多学生都说3X+3>0这个不等式，我很快解一下就可以解出X的范围，为什么非要再用一次函数去解释它，用图像再来看？那么麻烦，解出的结果跟我直接用不等式解出的是一样的结果。
大家可以看一下，2009年的高考题。这道题对初中学生很难。如果你的孩子是竞赛学得很好，或者已经涉及相关知识，你问他，这道题可以用不等式代数来解吗？真的会很难很难，但是却可以通过分析函数图像、位置关系的角度很快就能解出来。而这道题就是我们高考中很常见而且难度也不算太大的题目。
这就说明什么？也就是你接触到的知识体系只有到了这个水平，你可以用代数方法、几何方法都可以解决。但是一旦你接触到了更难的题目以后，很可能你的代数方法就失效了。但是你的几何方法还是行得通的。所以说，现在对于我们这个低龄阶段的孩子来说，如何尽可能多的从不同角度去看待同一个问题，从不同角度出发研究不同的方法，这种能力和习惯是非常重要的。
第五个重要的习惯，从不同角度研究问题。
我刚好听了学校老师的公开课，他讲了研究三角形中位线性质定理的一堂课。这位老师，他花了整堂课一半以上的时间都在研究三角形的中位线性质定理是如何推导出来的。我觉得这堂课的设计真的是非常好，如果我们要上三角形中位线性质定理的课，其实这课上最主要的不是教会这个性质定理，这个应该是最后给学生的一个结论。
而本堂课的出发点和用意应该是如何用我们以前学过的一些知识点、简单的性质定理来推导出现更高级的定理。这样一个思考过程，逻辑思维的思考过程，才是我们希望通过一堂课能够带给孩子的。基本上，我们学校老师在讲课的时候，都会遵循这样一个原则。每堂课不是教会孩子们某个知识点——这个我认为是最低层次的东西，而是得到这个知识点的一个过程，一个逻辑体系。把这个体系落实好了，我们才能慢慢慢慢培养孩子的独立思考问题，从不同角度看待问题的能力。
第六个，反思的习惯。
大家可以看到，我拍了一个学生的错题集的整理。大家可以看到，首先，上面有题目，有正确的解题过程。接着我最想讲的是右边的错题原因。当然，由于这只是一个六年级的小朋友写的，我觉得能写到这个程度，也已经非常不错了。随着年龄程度的提高，我们也能以更高的要求去要求孩子。
论语提到，学而不思则罔，只读书不思考，就会不深刻。而在数学中，只解题，不反思，同样也会影响到思维的深刻性。如果你只是把题目解出来，那么你等于只停留在题目本身这个层次。我们经常说，走两步，要回头看看你走过的那段路，你就会有不一样的人生感悟。同样，解完一道题以后，回想一下你解题的整个过程，哪里是关键，哪里是亮点，哪里有不够严谨的地方，哪里还可以更完善，这其中的收获，你就可以自然而然地感觉得到。题目背后那些更深层次的东西就会慢慢显现出来。
这种更深层次的东西，可能是一种方式方法，可能是一种豁然开朗的感慨。甚至我们可以从一道题目中体会到一种价值观，这也就是一种数学的美，当然，反思也不仅仅局限于当下。你也可以建议孩子拿出以往解决的一些好题，回过头来看看以前的东西，看看从前的思路，现在有了更成熟的知识体系之后是否让你有一些不一样的思考。
第6个良好的思维习惯，就是书写和表达的习惯。
我拿了同样是我班上两个学生，大家可以比较一下，见到同样两道题，不管思路、解题方法、答案是否正确，你的第一感觉是什么？其实这一点是很多家长和学生最容易忽视的一点。我同样以竞赛学生为例，由于小学竞赛，我觉得在书写或表达方面是比较弱化的，这也进一步促使了孩子只看重结果，不看重过程的趋势。
很多孩子书写过程能力比较弱，表达能力更不用提。而进入初中以后，尤其往上到初一、初二甚至初三以后，你会发现你面对的问题越来越复杂。你不可能所有的思考步骤都在你的脑子里完成，最后就能把答案想出来。一定是需要良好的书写过程来配合你的思维。可以这么说，如果你的孩子养成了一个良好的书写习惯，他在解决这些复杂问题的时候，思路也会更顺畅。所以培养孩子规范、整洁、细致的书写习惯，对思维的顺畅是非常重要的。
同样，我们还要培养孩子的一种表达能力。除了会做会写，还要会讲。能不能把自己的思路讲清楚，也体现了孩子思维的条理性是否层次分明。再从专业的角度讲下书写和表达的重要在哪里。因为数学学习中涉及到几种不同语言的相互转化，我们一般称之为三种语言：
一、自然语言，用文字来表达的意思；
二、符号语言，用数字、字母替代文字语言表达；
三、图形语言，尤其学到几何以后，怎么写几何的证明过程，或者就刚刚我举的一个例子，一次函数的图像，图形语言也叫图像语言。
怎么做到这三种语言自然切换，用哪种语言你都能表述好，这就非常考察学生的一种表达能力。表达的能力体现在哪里，其实就是一种书写和表达的习惯。
第七点，检验的习惯。
大家看一下，检验的习惯，我也举了一个例子，上面的一道作业题。这个小朋友非常好，解出这道题，对有些小朋友并不是太难。但这个小朋友在解出这道题之余，他在他的选项下面写下了“或无意义”这四个字。尽管他的思考还没有达到很成熟，或者这道题并不存在无意义的情况，但是他骨子里有一种批判思维。这种批判思维就是源于一种检验的习惯。这里求X:Z的比值，那Z不为零的一种情况是否可能存在呢？题目中只提到了X不为零，并没有说Z不为零，他就考虑到了这一点，我就想他小时候有一种很好的批判性思维。
我再以竞赛为例，参加过比赛的小朋友就说，会遇到很多考察函数最值的一种竞赛题。当你用配方法或基本不等式等方法求出一个函数最值的时候，有些小孩子就会很高兴地把求出这个函数的范围小于等于多少，大于等于多少，把其中的等号作为函数的最值作为答案写上去。
其实很多竞赛题，它的陷阱就在于这个等号是取不到的。如果你的孩子从小有一种很强的检验意识，那么他就会比其他孩子更容易想到，我要去检验一下，我求出这个函数的范围以后，这个小于等于，大于等于，这个等号是否满足我取到的条件呢?只要他多想这一步，他就是能够发现这个陷阱，解决这个问题。
以上七点就是我主要想讲的，培养孩子思维能力最重要的七个思维习惯。再回顾一下这七个习惯：
第一种，就是提高孩子的专注力；
第二种，就是独立思考的习惯；
第三个，观察的习惯；
第四个，从不同角度研究问题的习惯；
第五个，反思的习惯；
第六个，书写表达的习惯；
第七个，检验的习惯。
那为什么我会总结这七个习惯？不知大家在听讲的时候有没有发现，其实刚刚我们提到过，思维品质就包括四个点：一、深刻性，二、敏捷性，三、灵活性，四、独创性。
我们回过头看一下，刚刚我提到的这些习惯当中，第二个独立思考的习惯就是思维品质中的独创性。一定要让你的孩子提出自己的观点和意见，无论这个观点意见是对是错。其实结果并不重要，重要的是他真的自己去思考了。
第三个观察的习惯，有些同学一看这道题，就知道它的题目条件与条件之间有些什么规律，或者说他就能很快地看出这其中的一些端倪。这就是什么的体现？这就是思维品质当中的敏捷性的体现。
那第四点，从不同角度研究问题，这就是思维品质当中的一种灵活性的体现。我能不能一题多解？然后第五个反思的习惯，就是我刚刚提到的思维的深刻性。回过来想想，这道题我有些什么收获，这就体现了思维的深刻性。
如何培养良好的思维习惯？
讲到这里，接着我们进入第二个话题，如何去培养思维习惯的一些具体的方法。这个，我简单言之，从两个方面来讲。
第一个方面，让学生养成良好的思维习惯确实不是一个轻而易举的事情，由于低龄阶段的孩子自觉性确实不强，自控能力、意识都比较低，所以要通过必要的一些强制手段，或者说教育培养才能够达到上面所说的良好思维习惯。
通常会有三个阶段：
一、约束，我前面讲到的适当的强制手段；
二、慢慢慢慢让你的孩子适应这种约束；
三、顺其自然。
我觉得可以从以下几个方面入手：
一、从学习兴趣和动机入手。
学生对数学的迷恋往往从兴趣开始的，由兴趣产生动机，再由动机到他愿意思考，再由思考到思考成功并且从成功的快感中产生新一轮的兴趣和动机，推动这个学习不断前进。所以，一开始，数学兴趣和动机的培养就是良好习惯培养的开始。这就需要我们在适当的阶段给予孩子适当的支持，或者让孩子解决一些适当的问题，让他们跳一跳就能够得到，而这样就能够形成一个良性循环。
为什么这样说呢？因为像很多家长也会反馈，我的孩子已经是进入一种恶性循环的趋势，一开始就没有兴趣，越没有兴趣就越不学。越不学就越没有成就感，他就越不喜欢。我觉得一开始对孩子的定位就非常重要，你不在于让他一开始就解决多难的问题，学多难的知识点，在于要让他跳一跳，就能感受到达成自己，发现自己的一些与众不同的地方，或发现自己一些特长，感受到我能解决一些问题，他有了这个兴趣以后，良性循环才能够慢慢形成。
当然，第二点，这里讲的就是要能够严格要求。严格要求当中分为两点，一个合理适度的要求，就是要符合孩子认知发展的规律。一开始对他的要求一定要是他努力能够达到的。让他在努力之后得到精神上的一种满足和鼓励。这里我引用其他老师的一段话，不能像伊索寓言里面看到那个又红又大的葡萄的狐狸，它想吃却跳的筋疲力尽，只能说这个葡萄是酸的。在数学学习中，也是这个道理。
第二个，具体、明确地要求孩子。
这里就是适当的约束手段。你一定要去提出明确的要求。比如，前面讲到的专注力的培养，你跟孩子约定好，我接下来一个小时做数学，这一个小时就要全神贯注地做数学，杜绝其他一切的可能，在这一个小时里，你的手机该收掉的就要收掉，强制性地收掉。当然，我们的家长在这一个小时里面，也要尽量地不要打扰孩子，然后如果他能够专注一个小时，那再慢慢慢慢延长，提高他专注力延续的时间。
再比如，孩子独立思考习惯的培养。现在的辅助手段实在太多，万能的搜题工具，便携的通讯工具，绝对都阻碍了我们孩子独立思考能力和毅力的培养。对于孩子来说，那些跳一跳才能解决的问题，就要留给他充分的时间去思考。同样在这段时间内，绝不允许他借助任何外力和手段。
如果过了这段时间，他有了自己的一些点滴思考，但不足以解决这个问题，那我们再让他去寻求其他的一些帮助。但现在的孩子，可能一上来，想了一分钟，没什么想法，立马去搜题，立马跟同学去讨论，去问别人是怎么做的。现实情况就是这样。因为现在的手段实在是太发达了。
再比如反思习惯的养成，我们就可以要求我们的孩子，准备一本习题册，收集他认为好的问题，告诉他这本习题册就该怎么做，我该有哪几块东西，该有正确的解题过程，该有反思的环节，他写得好与不好无所谓，一定要让他写，多少写出一点东西来。
讲到这里，我们学校还有一个六年级的老师，每周会让班里的学生写一篇这周学完以后数学的感悟。我觉得这是一种非常好的方法和手段，这也是一种反思，就是在学习过程中你可以谈知识点的学习，在学习中本周本来弄不懂什么问题，但通过坚持不懈的努力，终于解决它。这就是我刚才提到的毅力、价值观的一种收获。这是更高层次的收获，比收获知识什么要强得多。
再接下来，比如书写表达的习惯，书写不规范，我必须要求责令整改，重写，并且经常要问问孩子，表达能力怎么锻炼，你为什么要这样做，是什么条件引领了你这种思路。那么基本上各种习惯的培养，我觉得给大家提出了具体的要求。
不同阶段该培养孩子哪些不同的数学能力
第三块，我们谈一下在不同阶段该培养孩子哪些不同的数学能力。孩子的思维能力，一定要遵循他的认知发展。各种数学能力的培养，其实也要循序渐进的。这里同样举一个例子，很多家长也问到我们，是否要在小学阶段学初中的内容，要在初中阶段学高中的内容，尤其要对于那些很好的孩子。或者说学竞赛的孩子。那我这里的回答是，小学阶段你是否学完了初中阶段的内容，或者是初中阶段你是否学完了高中阶段的内容，一点都不重要。
我是不看重他到底学了多少内容，重要的是刚刚讲到的良好的思维习惯，你是否有了。尤其是你在初中阶段毕业的时候，因为小初阶段是培养这些思维习惯的黄金期，到了高中高二高三，可能你就基本已经定型了。前段时间我们学校邀请了毕业于延安初中的现任IMO国家集训队的教练给我们的孩子做分享，他们都提到了自己的一些亲身经历，其中何老师就说，自己其实从初二才开始系统地学习竞赛，还有IMO的金牌得主，曲正华老师，他提到了自己在初三期间根本没有学任何高中的内容，他是在进入高一以后花了三个月的时间把高中课程都学完了。
从他们的这段话中，说明了什么问题？只要你具备了良好的思维能力，或者是一种自学能力，数学是不用教的。你会发现，他们一个在初二才学竞赛，一个三个月就能把高中课程学完，这就说明数学的整个知识体系对于一个会学习、有思维能力的学习来说，那是小菜一碟的东西。那你干嘛还非要在现在应该培养思维能力的阶段急着学这些东西呢？
我再退一步讲，哪怕到了高一高二，你只要这些能力锻炼好了，你想什么时候学，都不晚。而且你会学得很高效，很深入。所以，学习数学，老师确实只是一个引路人，更多的是要靠自己悟，这一点跟参禅是一样的。所以，不要再追求让孩子尽快学完什么高中内容，初中内容，看似他学了很多，如果没有思维能力作为依托，那他学的也只是皮毛，只会背背公式，背背定理，但是真正这些背后的东西，他是学不到的，所以反而在最应该培养孩子思维和能力的阶段，你忽略了这些而去追求你的孩子学了多少东西，那这真是本末倒置。
最后，我再来谈一下，在不同阶段，孩子应该重点培养哪些能力，给大家一些建议。
从竞赛角度，在小学阶段，主要培养孩子对数字的感知力，数学思维的灵活性。我觉得这个方向是非常正确的。因为小孩子年龄越小，就越应该让他们打开自己的思路，尽情去想各种各样有趣的奇思妙想，甚至有些奇怪的方法。而不要过多过早地灌输一些方法和套路，这样就制约了孩子的一个思维的发散性。但是这是我的观点。
现实情况却是另外一方面。比如功利一点，为了竞赛拿奖，我要快速地解题，很多孩子从刚开始接触奥数的时候，他们接触的更多的是记忆、模仿一些技巧型的解题方法。孩子对此乐此不疲，为什么，因为老师讲的这些技巧型解题方法，很好，我一套公式就立马解出题目。但你为什么能套，为什么套一套出来的就一定是正确答案。问很多孩子，他都不知道所以然。
如果这样学，忽略了整个思考、理解、分析的过程，久而久之我们的小朋友就会变成解题机器，阻碍了思维的创造性、发散性，这样学的小孩子可能小学还能拿个一等奖、二等奖，到了初中可能是三等奖，甚至拿不到奖。到了高中，你就不一定能进入竞赛了。因为这样学，越往上，越易碰到思维的瓶颈。因为你的孩子打从一开始，就没有从思维能力培养的角度去入手。所以，小学阶段一定要解放孩子的这种思维。
我们经常讲解放孩子的天性，其实学数学是一样的。小学阶段随他怎么行，敢想敢讲，讲错没有关系，敢想敢讲的过程就是孩子能力提高的必经过程。慢慢进入初中以后，我就要强调数学思想能力的培养，就有一些系统性了。随着知识体系的完善，就要有系统性。在预初到初一阶段，我们重点培养孩子的计算能力以及从数字到字母的一个思维的抽象能力。其实这跟我们教材的编写是完全符合的。
我们可以看一下，六年级从有理数的计算开始，到方程、不等式的计算，主要都是偏重于计算类的。然后到了初一上半学期，整式、分式，开始从数字到字母了。这就是从数字到字母的抽象过程，初步培养我们孩子抽象思维的能力，以及我前面提到的用符号语言来表达书写解题过程的能力。那到了初一到初二阶段，主要培养孩子平面几何想像能力、逻辑推理能力。
同样，教材体系设计是这样的，初一下半学期主要开始学习平行线、三角形全等，而到了初二下半学期，就会用很大一块儿学习四边形的平面几何的性质定理。这时候孩子就将全面接触平面几何学，培养他们对几何图形的分析、想象能力。当然，与此同时，逻辑推理能力以及前面提到的几何语言表达能力，也是在这一阶段要重点培养的。到了初三以后，我们就开始重点培养孩子的一些数据分析能力和综合建模能力。
在前期抽象能力、逻辑能力或者数据分析能力渐趋成熟以后，我们就需要孩子综合运用上述能力解决一些实际的问题，比如收集来的大量数据，怎么整理、分析，然后在数据的基础上，怎么构建一个合理的数学模型，再利用数学模型去评估一套最优的方法、策略，从而解决我们生活中的一些实际问题。其实这就是我们要让孩子学习数学的一个最终的、或者说比较高层次的目的。
如果达到了这个水平，那我可以说，他的这种思维能力，包括我前面讲的数学能力，基本上都已经具备了。所以，总而言之，思维能力的培养主要还是从思维习惯的养成开始。所以，今天讲座的三分之二的时间都花在思维习惯上。而数学能力的培养，也一定要循序渐进，能力好了，所有的知识理论，什么高中教材、初中教材，都是你的囊中之物。你想学多少，自己学，都可以。那个时候，我可以说，你的孩子，就已经出师了。那个时候，他不再是学术型，而是他自己真的是在探索数学，研究数学，甚至是欣赏数学。
那今天我今天的分享就到这里。我最后也要感谢我们延安初中的数学组当中沈老师、柯老师，还有其他老师给予的大力支持与帮助。感谢各位家长百忙之中抽出时间能够听我谈谈自己一些浅薄的看法。今天的讲座就到这里，谢谢大家！
问答Q&A
好，下面我对可能有些家长提出的有些问题，做一下简单的回答。
Q：孩子应用题比较弱，怎么解决？
A：我们从实际教学中发现有以下几种现象：第一，孩子对生活中的很多实际背景问题，他都不了解。比如说，应用题当中常考的盈亏问题，有些孩子甚至不知道商场打折是什么意思，打折是怎么算的，五折又是多少。遇到这种问题，我觉得其实就跟我刚刚讲的，跟孩子的认知水平有关。我们的教育是应该与孩子的认知水平相匹配的。
首先你要解决这个问题，让他在应用题当中所有涉及到的所有实际问题，他要都知道这是个什么问题。在生活中，我们买衣服，打折是怎么算的。首先明白这些，他才能理解这道题，才能进入独立思考的阶段。第二，应用题差的孩子往往缺乏独立思考的能力。很多孩子都会依赖于是否有老师，是否有一些工具告诉我这个方程该怎么列，先怎么列，再怎么列。这是非常不利于应用题的突破的，一定要先让他把应用题中各个条件都看清楚，每个条件让他罗列出来，然后问他每一个条件可以给你带来什么东西，是表达某一个量还是列出一个等量关系。
应用题中每一个条件，都一定都有它的作用。这样把每个条件拆分开来，让你的孩子一个条件一个条件地去看。当然这也是一个漫长的过程。从拆分应用题到每个条件都能分析，再把这个应用题的条件组合起来，再问他，我们的方程该怎么列？或许通过这样一种方法锻炼，就会有一些改变。
Q：学习数学是否一定要学奥数，参加竞赛？是否有其他方式培养数学思维？
A：首先，第一个，学习数学不一定要学习奥数，奥数也并一定适合所有孩子学。举个很简单的例子，你们会让你们的每个孩子学习110米跨栏吗？肯定不会啊。其实是一样的道理。其实整套的数学思维习惯的培养，不仅仅只是针对学奥数的孩子，哪怕普通学数学的孩子，同样需要培养这些数学思维的习惯和能力。
讲白了，数学现在只是一门学科，只是一种载体，可能长大后，他不从事数学相关的一些工作，但是他的这种思维模式，是会陪伴终身的。所以说，刚刚我讲的七点，不管你学不学奥数，都一定是要培养的，而且也就是在现在，小学、初中阶段就要培养起来。
Q：从幼儿园开始，就应该如何培养孩子学习数学的兴趣？
A：幼儿园如何培养学习数学的兴趣，针对学龄前儿童，只要针对一点，你可以找一些与数学相关的各种书籍，不要让他学习具体的数学内容，只要记住这个原则就可以了。可以找一些数学绘本，比如微信有人发，香蕉加梨子等于几，梨子加苹果等于几等等类似的算术题，只不过是以图形的方式呈现给我们的学龄前儿童。找这些让他去做一做，让他从中体会到乐趣。
但是切记，我是不建议让他在学龄前就学习小学的内容。我觉得这是弄不好就很有可能会扼杀他的兴趣，从而导致那种恶性循环。因为我刚刚也提到了，所有的这些内容，你可以晚点学，先让他有兴趣，培养习惯，这是首要的。然后这两点做到了，你什么让他开始学那些具体的小学课程、数学课程，都不算晚。
Q：孩子做数学卷子，经常挑题、跳着做，这样做应该制止吗？怎么应对？
A：这个肯定是要制止的。至于怎么制止，适当的可能需要一些强制性手段。或者你可以跟你的孩子好好沟通一下，尤其是到了青春期、发育期的孩子，容易逆反，你好好跟他沟通一下，听他讲一下，他为什么要挑题，为什么要跳着做？小孩子的常见心理，基本上他挑他会做得题。
你可以跟他分析一下，学习是为了什么？学习不是为了把你本来就已经会的东西反复练，练了半天你还是会，你不会的东西你倒都跳过，不练，还是不会。那么你学了半天，你还是什么都不会。我觉得还是先跟孩子好好沟通一下，再看怎么应对，具体情况具体分析。
荐书
最后可能有一些家长希望我推荐一些培养孩子数学思维的书单。我身边正好有几本书，当然这些书有很多。我只是给大家一个方法。比如我手边就有一本，《无言的宇宙——隐藏在二十四个数学公式背后的故事》。
我倒建议现在所有的家长，除了那些习题书不论，那些专业性、学术性很高的书，不太建议现在低龄阶段孩子们去看，而就像我手上的书，以故事的形式讲述在数学发展史当中各种公式定理推导的过程是怎样的。这种书籍既有趣而且也能让他接触到数学这个世界中非常奇妙的、美丽的公式、定理。我觉得这样的书，蛮适合现在初小的孩子看。
如果以后有机会，再与各位家长沟通！
本文转载自外滩教育，公众号ID：TBEducation。
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